Encontre a) o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge b)absolutamente e c) condicionalmente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita e precisamos encontrar:
a) O raio e o intervalo de convergência da série, ou seja, para quais valores de a série converge.
b) Para quais valores de a série converge absolutamente.
c) Para quais valores de a série converge condicionalmente.
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências.
Passo 2
O Teste da Razão é uma técnica que usamos para encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos de uma série. Se esse limite for , então a série converge absolutamente para e diverge para . Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Agora, calculamos o limite do quociente entre e :
Substituindo e :
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro do limite:
L = |x| cdot limn to infty (n+1)(n+2)n(n+3)
L = |x| cdot limn to infty n^2 + 3n + 2n^2 + 3n
L = |x| cdot limn to infty 1 + 3n + 2n^21 + 3n
L = |x| cdot 1 + 0 + 01 + 0
L = |x|
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente quando |x| < 1 :
|x| > 1
E diverge quando :
Quando , precisamos verificar separadamente.
Passo 6
Agora, identificamos o raio de convergência R = 1L = 11 = 1 , que é:
Então, a série converge para .
Passo 7
Vamos agora definir o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para sumn=1^infty n (1)^nn+2 = sumn=1^infty nn+2 . Precisamos verificar os pontos nn+2 = 11 + 2n e sumn=1^infty n (-1)^nn+2 .
Para :
Simplificando:
À medida que cresce, se aproxima de 1. Então, a série se comporta como , que diverge.
Para :
Aqui, usamos o Teste da Série Alternada:
Como o limite não é zero, a série também diverge para .
Resposta
a) O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .
b) A série converge absolutamente para .
c) A série não converge condicionalmente para nenhum valor de , já que nos pontos e a série não converge.