Encontre a) o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge b)absolutamente e c) condicionalmente. sumn=1^infty(n x^nn+2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita e precisamos encontrar:
a) O raio e o intervalo de convergência da série, ou seja, para quais valores de a série converge.
b) Para quais valores de a série converge absolutamente.
c) Para quais valores de a série converge condicionalmente.
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências.

Passo 2

O Teste da Razão é uma técnica que usamos para encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos de uma série. Se esse limite for , então a série converge absolutamente para e diverge para . Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = n x^nn+2
Agora, calculamos o limite do quociente entre L = limn to infty | an+1an | e L = limn to infty | (n+1) x^n+1(n+1)+2 cdot n+2n x^n | :
L = limn to infty | x cdot (n+1)(n+2)n(n+3) |
Substituindo e :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
L = |x| cdot limn to infty (n+1)(n+2)n(n+3)
L = |x| cdot limn to infty n^2 + 3n + 2n^2 + 3n
L = |x| cdot limn to infty 1 + 3n + 2n^21 + 3n
L = |x| cdot 1 + 0 + 01 + 0
L = |x|

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente quando |x| < 1 :
|x| > 1
E diverge quando :
Quando , precisamos verificar separadamente.

Passo 6

Agora, identificamos o raio de convergência R = 1L = 11 = 1 , que é:
Então, a série converge para .

Passo 7

Vamos agora definir o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para sumn=1^infty n (1)^nn+2 = sumn=1^infty nn+2 . Precisamos verificar os pontos nn+2 = 11 + 2n e sumn=1^infty n (-1)^nn+2 .
  1. Para :
Simplificando:
À medida que cresce, se aproxima de 1. Então, a série se comporta como , que diverge.
  1. Para :
Aqui, usamos o Teste da Série Alternada:
Como o limite não é zero, a série também diverge para .

Resposta

a) O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .
b) A série converge absolutamente para .
c) A série não converge condicionalmente para nenhum valor de , já que nos pontos e a série não converge.

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