Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar a série de Fourier de uma função que é definida de maneira diferente em dois intervalos dentro de um período. Aqui, a função é igual a para e igual a para .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Precisamos encontrar os coeficientes de Fourier que vão multiplicar esses senos e cossenos na série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função periódica de período :
Aqui, é o coeficiente constante, e e são os coeficientes das componentes de cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 4
Agora vamos calcular os coeficientes para os termos de cosseno. A fórmula é:
Dividindo a integral novamente:
Vamos resolver cada integral:
Para , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando:
Porque para qualquer inteiro .
Já para , usamos outra identidade:
Então:
Integrando:
Após calcular e simplificar, descobrimos que para todos os .
Passo 5
Vamos agora calcular os coeficientes para os termos de seno. A fórmula é: