Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
f(x) = { cos(t), -pi <= x <= 0; sen(x), 0 <= x <= pi }

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar a série de Fourier de uma função que é definida de maneira diferente em dois intervalos dentro de um período. Aqui, a função é igual a para e igual a para .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Precisamos encontrar os coeficientes de Fourier que vão multiplicar esses senos e cossenos na série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função periódica de período :
Aqui, é o coeficiente constante, e e são os coeficientes das componentes de cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 4

Agora vamos calcular os coeficientes para os termos de cosseno. A fórmula é:
Dividindo a integral novamente:
Vamos resolver cada integral:
Para , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando:
Porque para qualquer inteiro .
Já para , usamos outra identidade:
Então:
Integrando:
Após calcular e simplificar, descobrimos que para todos os .

Passo 5

Vamos agora calcular os coeficientes para os termos de seno. A fórmula é:
Dividindo a integral:
Primeira integral:
Usamos a identidade:
Então:
Novamente porque .
Segunda integral:
Usamos a identidade:
Aplicando:
Integrando:
Calculando, obtemos:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:
Simplificando, temos:

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