Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.10 .
Onde
é o triângulo de vértices
e
.
24.10 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral de linha sobre uma curva
, que é um triângulo com os vértices em
,
e
. O objetivo é calcular essa integral usando o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque transforma uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais fácil de resolver sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele diz que:
Aqui,
e
são funções das variáveis
e
, e
é a região fechada pela curva
.
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, aplicamos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Passo 6
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral vale
.