Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.10 .
ointc cos (x) cdot sen(y) cdot d x+sen(x) cdot cos (y) cdot d y
Onde C é o triângulo de vértices (0,0),(3,3) e (0,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral de linha sobre uma curva , que é um triângulo com os vértices em , e . O objetivo é calcular essa integral usando o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque transforma uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais fácil de resolver sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e são funções das variáveis e , e é a região fechada pela curva .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
P = cos(x) cdot sin(y) e Q = sin(x) cdot cos(y)
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x [sin(x) cdot cos(y)] = cos(x) cdot cos(y)
partial Ppartial y = partialpartial y [cos(x) cdot sin(y)] = cos(x) cdot cos(y)

Passo 4

Agora, aplicamos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = cos(x) cdot cos(y) - cos(x) cdot cos(y) = 0

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0

Passo 6

Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral vale .

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