Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
i) lim x 0 a^x-b^xx

Passo 1

Bele, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as exponenciais se comportam perto de 0 e utilizar algumas propriedades de limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante das funções exponenciais: pode ser escrita como . Isso nos ajuda a simplificar a expressão usando a função exponencial básica .

Passo 3

Aplicando essa propriedade, reescrevemos a expressão original:
a^x - b^xx = e^x ln a - e^x ln bx
Agora, precisamos entender como se comporta quando tende a 0, onde é uma constante.

Passo 4

Sabemos que, para valores pequenos de e^x ln a approx 1 + x ln a , a aproximação e^x ln b approx 1 + x ln b é válida (isso vem da série de Taylor da exponencial). Então, aplicando isso às duas partes da expressão:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:
(1 + x ln a) - (1 + x ln b)x = 1 + x ln a - 1 - x ln bx = x (ln a - ln b)x
Os termos se cancelam, e o no numerador e denominador também se cancelam.

Passo 6

Após simplificar, ficamos com:
ln a - ln b
Portanto, o limite é simplesmente a diferença dos logaritmos naturais de e .

Resposta

lim x 0 a^x-b^xx = ln a - ln b

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