Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
i)
i)
Passo 1
Bele, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as exponenciais se comportam perto de 0 e utilizar algumas propriedades de limites e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante das funções exponenciais:
pode ser escrita como
. Isso nos ajuda a simplificar a expressão usando a função exponencial básica
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade, reescrevemos a expressão original:
Agora, precisamos entender como
se comporta quando
tende a 0, onde
é uma constante.
Passo 4
Sabemos que, para valores pequenos de
, a aproximação
é válida (isso vem da série de Taylor da exponencial). Então, aplicando isso às duas partes da expressão:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Os termos
se cancelam, e o
no numerador e denominador também se cancelam.
Passo 6
Após simplificar, ficamos com:
Portanto, o limite é simplesmente a diferença dos logaritmos naturais de
e
.
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a série de Fourier da função dada.
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
g)
g)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
m)
m)
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):