Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
b)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também descobriremos a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o método das séries telescópicas, que é uma técnica que simplifica a soma de séries decompondo os termos de forma que muitos se cancelem.
Passo 2
O próximo passo é decompor a fração dada em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar os denominadores:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo a expressão:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Isso transforma a nossa série em:
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
Perceba que cada termo positivo cancela com o termo negativo seguinte. Isso caracteriza uma série telescópica.
Passo 7
Agora, observamos que na soma infinita, quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro termo não cancelado. Formalmente, temos:
Como
, a soma da série é:
Resposta
A série telescópica
converge e sua soma é 1.
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i)
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(g)
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(h)
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