Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também descobriremos a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o método das séries telescópicas, que é uma técnica que simplifica a soma de séries decompondo os termos de forma que muitos se cancelem.

Passo 2

O próximo passo é decompor a fração dada em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos resolver para e . Expandindo a expressão:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:
Isso transforma a nossa série em:

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
Perceba que cada termo positivo cancela com o termo negativo seguinte. Isso caracteriza uma série telescópica.

Passo 7

Agora, observamos que na soma infinita, quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro termo não cancelado. Formalmente, temos:
Como , a soma da série é:

Resposta

A série telescópica
converge e sua soma é 1.

Exercícios relacionados

Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
quais dos limites a seguir apresentam indeterminações? Para aqueles que não possuem indeterminações, calcule o limite quando possível.
(g)
quais dos limites a seguir apresentam indeterminações? Para aqueles que não possuem indeterminações, calcule o limite quando possível.
(h)