Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
b) sumn=1^infty 4(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 4(4n-3)(4n+1)
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também descobriremos a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o método das séries telescópicas, que é uma técnica que simplifica a soma de séries decompondo os termos de forma que muitos se cancelem.

Passo 2

O próximo passo é decompor a fração dada em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
4(4n-3)(4n+1) = A4n-3 + B4n+1
onde 4 = A(4n + 1) + B(4n - 3) e são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos resolver para 4 = (4A n + A) + (4B n - 3B) 4 = (4A + 4B) n + (A - 3B) e 4A + 4B = 0 A - 3B = 4 . Expandindo a expressão:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
4A + 4B = 0 Rightarrow A = -B
Substituindo -B - 3B = 4 Rightarrow -4B = 4 Rightarrow B = -1 na segunda equação:
A = -B = 1
Então,

Passo 5

Agora que temos 4(4n-3)(4n+1) = 14n-3 - 14n+1 e sumn=1^infty ( 14n-3 - 14n+1 ) , podemos reescrever a fração original:
Isso transforma a nossa série em:

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
n=1: & 11 - 15 n=2: & 15 - 19 n=3: & 19 - 113 & vdots
Perceba que cada termo positivo cancela com o termo negativo seguinte. Isso caracteriza uma série telescópica.

Passo 7

Agora, observamos que na soma infinita, quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro termo não cancelado. Formalmente, temos:
sumn=1^infty ( 14n-3 - 14n+1 ) = 1 - limn to infty 14n+1
Como 1 - 0 = 1 , a soma da série é:

Resposta

A série telescópica
sumn=1^infty 4(4n-3)(4n+1)
converge e sua soma é 1.

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