Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge, facilitando a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está no denominador da fração:
. Essa soma é conhecida e tem uma fórmula específica:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da nossa série.
Passo 3
Agora, substituímos essa fórmula na nossa série:
Para facilitar a comparação, vamos simplificar ainda mais. Observando os termos do denominador, para grandes valores de
,
se comporta aproximadamente como
. Então, podemos dizer que:
Passo 4
Escolhemos comparar nossa série com a série
. Sabemos que a série
converge se
. No caso,
, então essa série é convergente.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da comparação. Como para todo
, temos:
E sabemos que
converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.