Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i) sumn=1^infty 11^2+2^2+3^2+cdots+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge, facilitando a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está no denominador da fração: 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)6 . Essa soma é conhecida e tem uma fórmula específica:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da nossa série.

Passo 3

Agora, substituímos essa fórmula na nossa série:
sumn=1^infty 1n(n + 1)(2n + 1)6 = sumn=1^infty 6n(n + 1)(2n + 1)
Para facilitar a comparação, vamos simplificar ainda mais. Observando os termos do denominador, para grandes valores de 6n(n + 1)(2n + 1) approx 62n^3 = 3n^3 , se comporta aproximadamente como . Então, podemos dizer que:

Passo 4

Escolhemos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série converge se . No caso, , então essa série é convergente.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da comparação. Como para todo 6n(n + 1)(2n + 1) <= 3n^3 , temos:
E sabemos que converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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