Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge, facilitando a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está no denominador da fração: . Essa soma é conhecida e tem uma fórmula específica:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão da nossa série.

Passo 3

Agora, substituímos essa fórmula na nossa série:
Para facilitar a comparação, vamos simplificar ainda mais. Observando os termos do denominador, para grandes valores de , se comporta aproximadamente como . Então, podemos dizer que:

Passo 4

Escolhemos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série converge se . No caso, , então essa série é convergente.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da comparação. Como para todo , temos:
E sabemos que converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Calcule os seguintes limites:
Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
b)
quais dos limites a seguir apresentam indeterminações? Para aqueles que não possuem indeterminações, calcule o limite quando possível.
(g)