(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
y=integral0^lg x raizt+raizt d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
y = integral0^lg x raizt + raizt , dt
O objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos utilizar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a relacionar derivadas com integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Essa parte nos diz que se temos uma função definida por uma integral com o limite superior sendo uma função de F(x) = integrala^g(x) f(t) , dt , ou seja:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x)
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que para derivar uma integral definida onde o limite superior depende de , a derivada é a função integranda avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior.

Passo 3

Aplicando esse conceito à nossa função:
y = integral0^lg x raizt + raizt , dt
Aqui, y' = f(g(x)) cdot g'(x) e .
Segundo o teorema, a derivada de será:

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Avaliar f(g(x)) = raizg(x) + raizg(x) = raizlg x + raizlg x em g'(x) = 1x ln 10 :
  1. Calcular a derivada de :
Sabemos que . A derivada de em relação a é:
Pois a derivada de é , e aqui .

Passo 5

Agora, multiplicamos as duas partes:
y' = raizlg x + raizlg x cdot 1x ln 10
Essa é a expressão da derivada da função dada.

Resposta

A derivada da função é:
y' = raizlg x + raizlg xx ln 10

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