(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos utilizar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a relacionar derivadas com integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Essa parte nos diz que se temos uma função definida por uma integral com o limite superior sendo uma função de
, ou seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que para derivar uma integral definida onde o limite superior depende de
, a derivada é a função integranda avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior.
Passo 3
Aplicando esse conceito à nossa função:
Aqui,
e
.
Segundo o teorema, a derivada de
será:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- Avaliar
em :
- Calcular a derivada de
:
Sabemos que
. A derivada de
em relação a
é:
Pois a derivada de
é
, e aqui
.
Passo 5
Agora, multiplicamos as duas partes:
Essa é a expressão da derivada da função dada.
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
i)
Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
b)
b)