Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que resolver o problema de Cauchy (ou valor inicial) dado pela equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e a aplicação do fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares:
No nosso caso:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Para o lado direito, usamos uma substituição. Seja:
Assim, a integral fica:
Portanto, temos:
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Passo 8
Substituímos o valor de
na solução geral:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. O preço do material usado para o fundo e a tampa é de
por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de
por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Resolva as equaçōes: