Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz.
representa a derivada de
em relação a
. A equação
é uma equação diferencial que relaciona a taxa de mudança de
com
mesmo.
Passo 3
Nossa meta é encontrar uma expressão para
em função de
. Para isso, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor
em frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos combinar os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Onde
ainda é uma constante.
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Podemos simplificar removendo o valor absoluto e incluindo a constante
:
Passo 8
Agora, resolvemos para
. Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
As soluções gerais da equação diferencial são
, onde
é uma constante real, definindo
de forma implícita para
em todo o domínio real.
Exercícios relacionados
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(O número de pessoas
, em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato $$
N(t)=\frac{84}{1+2799 e^{-t}}$$
Quanto tempo falta para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato?
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Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
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