(Uma lata cilíndrica de ter o volume de . O preço do material usado para o fundo e a tampa é de por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos uma lata que é um cilindro com volume de . A gente precisa calcular o custo do material para fazer essa lata, dependendo do raio da base . Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre volumes e áreas de cilindros, além de custos unitários dados para cada parte da lata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:
onde é o raio da base e é a altura da lata. Como sabemos o volume ( ), podemos usar essa fórmula para expressar a altura em função de .

Passo 3

Vamos isolar na fórmula do volume:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a altura da lata é centímetros.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as áreas das partes da lata para determinar o custo. Um cilindro tem duas bases (fundo e tampa) e a lateral.
A área de uma base é:
Como são duas bases, a área total das bases é:

Passo 5

A área lateral de um cilindro é dada por:
Já sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora que temos as áreas, vamos calcular o custo de cada parte.
  • O custo das bases é:
  • O custo da lateral é:

Passo 7

Finalmente, somamos os custos das bases e da lateral para obter o custo total em função do raio :

Resposta

O custo do material necessário para construir a lata, em função do raio da base , é:

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