(Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. O preço do material usado para o fundo e a tampa é de
por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de
por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos uma lata que é um cilindro com volume de
. A gente precisa calcular o custo do material para fazer essa lata, dependendo do raio da base
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre volumes e áreas de cilindros, além de custos unitários dados para cada parte da lata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um cilindro é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura da lata. Como sabemos o volume (
), podemos usar essa fórmula para expressar a altura
em função de
.
Passo 3
Vamos isolar
na fórmula do volume:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a altura
da lata é
centímetros.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as áreas das partes da lata para determinar o custo. Um cilindro tem duas bases (fundo e tampa) e a lateral.
A área de uma base é:
Como são duas bases, a área total das bases é:
Passo 5
A área lateral de um cilindro é dada por:
Já sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora que temos as áreas, vamos calcular o custo de cada parte.
- O custo das bases é:
- O custo da lateral é:
Passo 7
Finalmente, somamos os custos das bases e da lateral para obter o custo total
em função do raio
:
Resposta
O custo do material necessário para construir a lata, em função do raio da base
, é:
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Resolva as equaçōes:
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