Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial, também conhecido como problema de Cauchy. A gente vai resolver uma equação diferencial do tipo:
com a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, vamos transformar a equação numa forma que facilite encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, transforma a parte esquerda numa derivada fácil de integrar.
O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que isso nos leva de volta à equação original, confirmando que nosso fator integrante está correto.

Passo 5

Com o fator integrante, a parte esquerda da equação se torna a derivada de :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de Cauchy é:

Exercícios relacionados

Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
(Uma lata cilíndrica de ter o volume de . O preço do material usado para o fundo e a tampa é de por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;