Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial, também conhecido como problema de Cauchy. A gente vai resolver uma equação diferencial do tipo:
com a condição inicial
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, vamos transformar a equação numa forma que facilite encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, transforma a parte esquerda numa derivada fácil de integrar.
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que isso nos leva de volta à equação original, confirmando que nosso fator integrante está correto.
Passo 5
Com o fator integrante, a parte esquerda da equação se torna a derivada de
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de Cauchy é:
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Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
(Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. O preço do material usado para o fundo e a tampa é de
por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de
por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;