Determine a solução completa das equações não-homogêneas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares, especificamente de segunda ordem, onde nosso objetivo é encontrar a solução completa que inclui tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos o método do polinômio característico. Assumimos uma solução da forma e substituímos na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de e devem ser iguais aos do lado direito. Então, temos o sistema de equações:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, encontrando :

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução completa da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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a)
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
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