Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea:
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares, especificamente de segunda ordem, onde nosso objetivo é encontrar a solução completa que inclui tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos o método do polinômio característico. Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de
e
devem ser iguais aos do lado direito. Então, temos o sistema de equações:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, encontrando
:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução completa da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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