Calcular as integrais :
integral0^2 u 3^u d u

Passo 1

Estamos com um exercício de cálculo de integrais, especificamente a integral definida de . Vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Normalmente, escolhemos como algo que simplifica quando derivado, e como algo fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = u Rightarrow du = du
dv = 3^u , du Rightarrow v = integral 3^u , du = 3^uln 3

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cdot 3^u , du = u cdot 3^uln 3 - integral 3^uln 3 , du
Simplificando:
= u cdot 3^uln 3 - 1ln 3 integral 3^u , du

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda integral:
integral 3^u , du = 3^uln 3 + C
Então, substituindo de volta:
= u cdot 3^uln 3 - 1ln 3 cdot 3^uln 3 + C = u cdot 3^uln 3 - 3^u(ln 3)^2 + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ u cdot 3^uln 3 - 3^u(ln 3)^2 ]0^2 = ( 2 cdot 3^2ln 3 - 3^2(ln 3)^2 ) - ( 0 cdot 3^0ln 3 - 3^0(ln 3)^2 )
Simplificando:
= 18ln 3 - 9(ln 3)^2 - ( 0 - 1(ln 3)^2 ) = 18ln 3 - 9 - 1(ln 3)^2 = 18ln 3 - 8(ln 3)^2

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados