Determine a solução completa das equações não-homogêneas: ;

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial não homogênea que é assim: . O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da parte homogênea e por uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, temos uma raiz dupla . Portanto, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . A solução particular será a soma de soluções particulares para cada termo do lado direito.

Passo 4

Para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo e suas derivadas na equação original e resolvendo para e , encontramos os valores que satisfazem a equação.

Passo 5

Para o termo , uma função polinomial, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para e .

Passo 6

Para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação original, resolvemos para .

Passo 7

Somando todas as soluções particulares, temos:
Isso dá a solução particular completa para a parte não homogênea.

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
onde , , , , , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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