Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
;
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial não homogênea que é assim:
. O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da parte homogênea e por uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, temos uma raiz dupla
. Portanto, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a parte não homogênea
. A solução particular será a soma de soluções particulares para cada termo do lado direito.
Passo 4
Para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo
e suas derivadas na equação original e resolvendo para
e
, encontramos os valores que satisfazem a equação.
Passo 5
Para o termo
, uma função polinomial, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para
e
.
Passo 6
Para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação original, resolvemos para
.
Passo 7
Somando todas as soluções particulares, temos:
Isso dá a solução particular completa para a parte não homogênea.
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
onde
,
,
,
,
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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