Determine a solução completa das equações não-homogêneas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não-homogênea: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo isso na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , vamos encontrar os valores de . Podemos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é a soma de e , vamos achar soluções particulares para cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, para o termo . Notamos que já é uma solução da equação homogênea, então precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Agora, para o termo . Vamos assumir uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Somando as soluções particulares:

Passo 9

Substituímos na equação original e resolvemos para , e . Após calcular, encontramos:

Resposta

A solução completa da equação é:

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Encontre a derivada das funções a seguir.
38.
Resp.:
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
d)
Determine a solução completa das equações não-homogêneas: