Determine a solução completa das equações não-homogêneas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial não-homogênea de segunda ordem:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde precisamos encontrar a solução completa dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma e substituímos na equação homogênea:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas:

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação não-homogênea:
Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos substituir na equação original para encontrar :
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em .
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos .
Encontre a derivada das funções a seguir.
38.
Resp.:
Determine a solução completa das equações não-homogêneas: