Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial não-homogênea de segunda ordem:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde precisamos encontrar a solução completa dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação homogênea:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas:
Passo 4
Com as raízes
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação não-homogênea:
Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos substituir
na equação original para encontrar
:
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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38.
Resp.:
38.
Resp.:
Determine a solução completa das equações não-homogêneas: