Verifique se a equação é exata, onde e . Resolva a equação.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma , com e . Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver a equação.

Passo 2

Antes de mais nada, é importante entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação é exata se existe uma função tal que suas derivadas parciais satisfazem e . Ou seja, podemos encontrar uma função potencial cuja derivada em relação a é e em relação a é .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais das funções e . Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a , e depois a derivada parcial de em relação a .
Vamos lá:

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais calculadas. Se elas forem iguais, então a equação é exata.
Aqui, vemos que:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar a função potencial integrando em relação a e depois determinando a função de integração que depende apenas de .
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então integrando:
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a solução da seguinte equação:
Mostre que o centro de gravidade de um triângulo o divide em três triângulos e de mesma área.
Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha: sentido contrário ao de e cinco vezes o módulo de ;
Determine a solução da equação exata .