Verifique se a equação
é exata, onde
e
. Resolva a equação.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma
, com
e
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver a equação.
Passo 2
Antes de mais nada, é importante entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação é exata se existe uma função
tal que suas derivadas parciais satisfazem
e
. Ou seja, podemos encontrar uma função potencial
cuja derivada em relação a
é
e em relação a
é
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais das funções
e
. Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, e depois a derivada parcial de
em relação a
.
Vamos lá:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais calculadas. Se elas forem iguais, então a equação é exata.
Aqui, vemos que:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
e depois determinando a função de integração que depende apenas de
.
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então integrando:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a solução da seguinte equação:
Mostre que o centro de gravidade
de um triângulo
o divide em três triângulos
e
de mesma área.
Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha: sentido contrário ao de
e cinco vezes o módulo de
;
Determine a solução da equação exata
.