Verifique se a equação M(x, y)+N(x, y) d y=0 é exata, onde M(x, y)=2 x y e N(x, y)=x^2+y^2. Resolva a equação.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0, com M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x^2 + y^2. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver a equação.

Passo 2

Antes de mais nada, é importante entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação é exata se existe uma função F(x, y) tal que suas derivadas parciais satisfazem Fx = M e Fy = N. Ou seja, podemos encontrar uma função potencial F(x, y) cuja derivada em relação a x é M e em relação a y é N.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais das funções M e N. Primeiro, calculamos a derivada parcial de M em relação a y, e depois a derivada parcial de N em relação a x.
Vamos lá:
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy) = 2x
partial Npartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais calculadas. Se elas forem iguais, então a equação é exata.
Aqui, vemos que:
partial Mpartial y = 2x e partial Npartial x = 2x
Como 2x = 2x, a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar a função potencial F(x, y) integrando M em relação a x e depois determinando a função de integração que depende apenas de y.
Integrando M = 2xy em relação a x:
F(x, y) = integral 2xy , dx = x^2y + g(y)
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N para encontrar g(y):
partial Fpartial y = x^2 + g'(y) = N = x^2 + y^2
Isso implica que g'(y) = y^2, então integrando:
g(y) = integral y^2 , dy = y^33 + C
Portanto, a função potencial é:
F(x, y) = x^2y + y^33 + C

Resposta

A solução geral da equação é x^2 y + y^33 = C, onde C é a constante de integração.

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