Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano , e que é concorrente com as retas

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação vetorial para uma reta que está no plano e que intercepta (é concorrente com) duas outras retas dadas pelas equações:
e
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação vetorial de uma reta e o plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Isso acontece porque a reta deve passar por esse ponto para ser concorrente com ambas.
Para :
Substituindo na primeira equação:
Então, podemos expressar como:
Para :
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Aqui vemos que não há um ponto que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, as retas e não se intersectam.

Passo 3

Parece que houve um erro na nossa abordagem inicial. Como as retas e não se intersectam, precisamos interpretar a questão de outra forma. A reta deve estar no plano e ser concorrente com cada uma das retas, o que significa que deve intersectar ambas as retas, mas elas não necessariamente se intersectam entre si.
Então, precisamos encontrar pontos onde intersecta e , e garantir que está no plano .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção de com e :
Para :
Qualquer ponto em pode ser parametrizado como:
Para :
Qualquer ponto em pode ser parametrizado como:
A reta que conecta pontos e deve estar no plano . Vamos escolher um ponto em e outro em que também satisfazem a equação do plano.

Passo 5

Escolha para de modo que o ponto esteja no plano :
Portanto, o ponto é .
Escolha para de modo que o ponto esteja no plano :
Portanto, o ponto é .

Passo 6

Agora que temos os pontos e , podemos montar a equação vetorial da reta que passa por esses pontos.
Primeiro, encontramos o vetor diretor de :
A equação vetorial de é então:
onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação vetorial da reta é:

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Considere o sistema
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
Encontre a inversa das matrizes abaixo:
(a)
Determine a solução para a equação: .