Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano pi: x-y+z=0, e que é concorrente com as retas
r:l x+y+2 z=2 x=y e :l z=x+2 y=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação vetorial para uma reta r1: l x + y + 2z = 2 x = y que está no plano r2: l z = x + 2 y = 0 e que intercepta (é concorrente com) duas outras retas dadas pelas equações:
e
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação vetorial de uma reta e o plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas x = y e x + x + 2z = 2 implies 2x + 2z = 2 implies x + z = 1 implies z = 1 - x . Isso acontece porque a reta r1: x = x y = x z = 1 - x deve passar por esse ponto para ser concorrente com ambas.
Para y = 0 z = x + 2 :
y = x = 0 (pois y = 0 em r2)
Substituindo z = 1 - x = 1 - 0 = 1 na primeira equação:
z = x + 2 = 0 + 2 = 2
Então, podemos expressar como:
Para :
Agora, para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Aqui vemos que não há um ponto que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, as retas e não se intersectam.

Passo 3

Parece que houve um erro na nossa abordagem inicial. Como as retas e não se intersectam, precisamos interpretar a questão de outra forma. A reta deve estar no plano e ser concorrente com cada uma das retas, o que significa que deve intersectar ambas as retas, mas elas não necessariamente se intersectam entre si.
Então, precisamos encontrar pontos onde intersecta e , e garantir que está no plano .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção de x = y z = 1 - x com A(x, x, 1 - x) e y = 0 z = x + 2 :
Para B(x, 0, x + 2) :
Qualquer ponto em pode ser parametrizado como:
Para :
Qualquer ponto em pode ser parametrizado como:
A reta que conecta pontos e deve estar no plano . Vamos escolher um ponto em e outro em que também satisfazem a equação do plano.

Passo 5

Escolha x - y + z = 0 implies x - x + (1 - x) = 0 implies 1 - x = 0 implies x = 1 para x - y + z = 0 implies x - 0 + (x + 2) = 0 implies 2x + 2 = 0 implies x = -1 de modo que o ponto esteja no plano :
Portanto, o ponto é .
Escolha para de modo que o ponto esteja no plano :
Portanto, o ponto é .

Passo 6

Agora que temos os pontos d = B - A = (-1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (-2, -1, 1) e r(s) = A + s cdot d = 110 + s -2-11 , podemos montar a equação vetorial da reta que passa por esses pontos.
Primeiro, encontramos o vetor diretor de :
A equação vetorial de é então:
onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação vetorial da reta r(s) = 110 + s -2-11, s in R é:

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