Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com equações de diferença lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Essa é a equação característica da equação homogênea.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau na forma:

Passo 7

Substituindo na equação original:
Calculamos e :
Substituindo na equação:

Passo 8

Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De :
  2. Substituindo na segunda equação:



  3. Substituindo e na terceira equação:




Passo 11

Então, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação de diferença dada é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Determine a solução da equação de diferença com condições iniciais e , e determine .
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :