Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com equações de diferença lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Essa é a equação característica da equação homogênea.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio de segundo grau na forma:
Passo 7
Substituindo na equação original:
Calculamos e :
Substituindo na equação:
Passo 8
Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações:
De :
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação de diferença dada é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.