Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações de diferença lineares e solução de equações homogêneas. Precisamos conhecer um pouco sobre equações caracteristicas e soluções particulares para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando igualamos a equação a zero:
Isso porque a solução geral será a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, fazemos a equação característica associada. Substituímos
por
:
Dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, a equação fatorada fica:
Então, temos uma raiz dupla:
com multiplicidade 2.
Passo 5
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
e
já é uma raiz da equação característica com multiplicidade 2, precisamos multiplicar nossa tentativa por
para evitar a duplicidade. Então, vamos assumir:
Aqui,
é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
Vamos substituir
na equação original:
Calculando cada termo:
Substituindo na equação:
Passo 8
Fatorando
e simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Expandindo os termos:
Distribuindo
:
Simplificando os termos semelhantes:
Então:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução da equação de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :