Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações de diferença lineares e solução de equações homogêneas. Precisamos conhecer um pouco sobre equações caracteristicas e soluções particulares para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando igualamos a equação a zero:
Isso porque a solução geral será a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, fazemos a equação característica associada. Substituímos por :
Dividindo todos os termos por (assumindo que ):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, a equação fatorada fica:
Então, temos uma raiz dupla: com multiplicidade 2.

Passo 5

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é e já é uma raiz da equação característica com multiplicidade 2, precisamos multiplicar nossa tentativa por para evitar a duplicidade. Então, vamos assumir:
Aqui, é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Vamos substituir na equação original:
Calculando cada termo:
Substituindo na equação:

Passo 8

Fatorando e simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Expandindo os termos:
Distribuindo :
Simplificando os termos semelhantes:
Então:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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