Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferenças que é do tipo linear. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com equações de recorrência, que nos ajudam a encontrar uma sequência
que satisfaça a relação dada. Nosso objetivo é achar uma fórmula que nos dê
para qualquer
, sabendo que
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
para resolver para
:
Isso nos mostra como cada termo da sequência está relacionado com o termo anterior.
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
. Para isso, vamos escrever os primeiros termos para identificar um padrão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observando esses termos, percebemos que a sequência alterna sinais e os valores absolutos seguem um padrão.
Passo 4
Para generalizar, vamos tentar encontrar uma expressão fechada para
. Observamos que a relação é:
Podemos escrever isso como:
Para encontrar
, multiplicamos essas razões de
desde
até
:
Passo 5
Vamos simplificar o produto:
Podemos reescrever o numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Observamos que para
, o numerador fica zero, fazendo todo o produto ser zero a partir desse ponto. No entanto, como
, e os primeiros termos nos mostram a sequência alternada, precisamos encontrar outra abordagem.
Passo 6
Vamos reescrever a razão
de uma forma que facilite a multiplicação:
Isso nos ajuda a identificar que a solução terá uma componente que envolve fatores de
.
Passo 7
Para resolver a equação recorrente, usamos a técnica de somatório. Vamos escrever a solução geral da equação linear:
Simplificando o somatório:
Esse somatório telescopará, ou seja, muitos termos vão se cancelar.
Passo 8
Após cancelar os termos telescopados, ficamos com:
Como estamos trabalhando com logaritmos de termos negativos, o que não é definido nos números reais, interpretamos que a solução geral envolve uma alternância de sinais.
Passo 9
Portanto, a solução geral pode ser escrita como:
Considerando
, temos:
Resposta
A solução da equação de diferenças dada é:
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Calcule as integrais abaixo.
$(a) .
$(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(a)
(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: