Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferenças que é do tipo linear. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com equações de recorrência, que nos ajudam a encontrar uma sequência que satisfaça a relação dada. Nosso objetivo é achar uma fórmula que nos dê para qualquer , sabendo que .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por para resolver para :
Isso nos mostra como cada termo da sequência está relacionado com o termo anterior.

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de . Para isso, vamos escrever os primeiros termos para identificar um padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observando esses termos, percebemos que a sequência alterna sinais e os valores absolutos seguem um padrão.

Passo 4

Para generalizar, vamos tentar encontrar uma expressão fechada para . Observamos que a relação é:
Podemos escrever isso como:
Para encontrar , multiplicamos essas razões de desde até :

Passo 5

Vamos simplificar o produto:
Podemos reescrever o numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Observamos que para , o numerador fica zero, fazendo todo o produto ser zero a partir desse ponto. No entanto, como , e os primeiros termos nos mostram a sequência alternada, precisamos encontrar outra abordagem.

Passo 6

Vamos reescrever a razão de uma forma que facilite a multiplicação:
Isso nos ajuda a identificar que a solução terá uma componente que envolve fatores de .

Passo 7

Para resolver a equação recorrente, usamos a técnica de somatório. Vamos escrever a solução geral da equação linear:
Simplificando o somatório:
Esse somatório telescopará, ou seja, muitos termos vão se cancelar.

Passo 8

Após cancelar os termos telescopados, ficamos com:
Como estamos trabalhando com logaritmos de termos negativos, o que não é definido nos números reais, interpretamos que a solução geral envolve uma alternância de sinais.

Passo 9

Portanto, a solução geral pode ser escrita como:
Considerando , temos:

Resposta

A solução da equação de diferenças dada é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
$(a) .
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: