Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre equações em diferenças, que são como equações que lidam com sequências de números, tipo passo a passo. Aqui, a gente precisa resolver a equação
sabendo que
. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência e encontrar uma sequência que satisfaça essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo constante. No nosso caso, a equação homogênea é:
Isso ajuda a encontrar a solução geral da parte variável da equação.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação homogênea. Assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(onde
):
Então,
. Portanto, a solução homogênea é:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Em seguida, encontramos a solução particular da equação completa. Como o termo constante é 4, suponhamos que a solução particular seja uma constante
. Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
:
Passo 7
Substituindo o valor de
na solução geral, temos:
Resposta
A solução da equação em diferenças é:
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Calcule as integrais abaixo.
$(b) .
$(b)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:
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