Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre equações em diferenças, que são como equações que lidam com sequências de números, tipo passo a passo. Aqui, a gente precisa resolver a equação sabendo que . Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência e encontrar uma sequência que satisfaça essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo constante. No nosso caso, a equação homogênea é:
Isso ajuda a encontrar a solução geral da parte variável da equação.

Passo 3

Agora, resolvemos a equação homogênea. Assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação:
Dividindo por (onde ):
Então, . Portanto, a solução homogênea é:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Em seguida, encontramos a solução particular da equação completa. Como o termo constante é 4, suponhamos que a solução particular seja uma constante . Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que :

Passo 7

Substituindo o valor de na solução geral, temos:

Resposta

A solução da equação em diferenças é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
$(b) .
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução: ;
Resolva as equações em diferenças, verificando sua solução: .