Determine a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, a gente está lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (
) e uma solução particular (
) da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
Passo 3
Com as raízes
, a solução complementar (homogênea) é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 9
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(b) .
(b)
Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
© .
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