Determine a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, a gente está lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) e uma solução particular ( ) da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas:

Passo 3

Com as raízes , a solução complementar (homogênea) é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos e :
Para :
Para :

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 9

Com os valores de e , a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(b) .
Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
© .
Resolva os PVIs: