Determine a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso significa que queremos encontrar uma função que, quando derivada duas vezes e combinada com suas derivadas de primeira e nenhuma derivada, iguale o lado direito da equação. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso é como desfazermos a parte mais simples da equação, sem o lado direito. A solução dessa equação vai nos dar a base para a solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica para nossa EDO é:
Resolvendo isso:
Como o discriminante ( ) é zero, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito é , que já está presente na solução homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos nossa tentativa de solução particular por :
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para encontrar os valores de e . Após os cálculos, encontramos:
Então,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(a) .
Resolva as equações diferenciais:
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(b) .
Determine a solução geral das EDOs: