Determine a solução geral das edo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação inicial é:
Vamos dividir todos os termos por para isolar :
Agora, identificamos que:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que torna a esquerda da equação a derivada de .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação com relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Sejam . Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH
fator integrante