Determine a solução geral das edo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação inicial é:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Agora, identificamos que:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que torna a esquerda da equação a derivada de
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação com relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Sejam
. Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH