Sejam
. Mostre que:
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no plano:
e
. A gente precisa mostrar algumas desigualdades envolvendo a diferença desses vetores e as componentes individuais deles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a norma de um vetor e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa a norma (ou comprimento) do vetor diferença entre
e
. Calculando:
Então, a norma é:
Passo 3
Agora, vamos provar a parte (a):
.
Sabemos que
. Como a raiz quadrada de uma soma é sempre maior ou igual a qualquer um dos termos individualmente (pois todos os termos são positivos), então:
Passo 4
Vamos para a parte (b):
.
Usando o mesmo raciocínio da parte (a), observamos que:
Porque
é um dos termos na soma dentro da raiz quadrada, então ele também é menor ou igual à norma do vetor diferença.
Passo 5
Agora, vamos para a parte ©:
.
Para provar isso, usamos a desigualdade triangular, que diz que a norma de uma soma de vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores individuais. Aplicando isso:
Isso acontece porque a soma dos quadrados é sempre menor ou igual ao quadrado da soma dos módulos.
Resposta
(a)
(b)
©
Exercícios relacionados
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos
tais que a distância de
ao eixo dos
é
da distância de
ao plano
. Identifique a superfície.
Determine a solução geral das edo
Determine a solução geral das edo