Sejam u = x i + y j e v = a i + b j. Mostre que:
(a) |x - a| <= ||u - v||.
(b) |y - b| <= ||u - v||.
© ||u - v|| <= |x - a| + |y - b|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no plano: e . A gente precisa mostrar algumas desigualdades envolvendo a diferença desses vetores e as componentes individuais deles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a norma de um vetor e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa a norma (ou comprimento) do vetor diferença entre e . Calculando:
Então, a norma é:

Passo 3

Agora, vamos provar a parte (a): .
Sabemos que . Como a raiz quadrada de uma soma é sempre maior ou igual a qualquer um dos termos individualmente (pois todos os termos são positivos), então:

Passo 4

Vamos para a parte (b): .
Usando o mesmo raciocínio da parte (a), observamos que:
Porque é um dos termos na soma dentro da raiz quadrada, então ele também é menor ou igual à norma do vetor diferença.

Passo 5

Agora, vamos para a parte ©: .
Para provar isso, usamos a desigualdade triangular, que diz que a norma de uma soma de vetores é menor ou igual à soma das normas dos vetores individuais. Aplicando isso:
Isso acontece porque a soma dos quadrados é sempre menor ou igual ao quadrado da soma dos módulos.

Resposta

(a)
(b)
©

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