Determine a solução geral das edo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante, que é uma técnica útil para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que se pareça mais com a equação diferencial linear padrão. A equação padrão é:
Então, vamos distribuir o
na nossa equação original:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo:
Agora, está na forma padrão onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando o lado esquerdo:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa é uma integral padrão. O resultado é:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Sejam
. Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Determine a solução geral das edo
Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH