Determine a solução geral das edo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante, que é uma técnica útil para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que se pareça mais com a equação diferencial linear padrão. A equação padrão é:
Então, vamos distribuir o na nossa equação original:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo:
Agora, está na forma padrão onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Simplificando o lado esquerdo:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa é uma integral padrão. O resultado é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Sejam . Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Determine a solução geral das edo
Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH