Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda Ordem (EDO). Para resolver essa parada, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (o que está depois do igual) é uma combinação de funções conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada. Isso significa resolver a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos por , o que nos leva a:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui, e são constantes que seriam determinadas se tivéssemos condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
O lado direito é , que é uma combinação de um polinômio de primeiro grau ( ) e uma exponencial ( ).
Como não é solução da equação homogênea (nossas raízes eram com ), podemos propor uma solução particular da forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com :
Para o termo constante:
Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer a substituição corretamente.
Substituindo novamente na equação:
Agrupando os termos:
  • Termos com :
  • Termos constantes:
Então, a equação fica:
Agora, igualando os coeficientes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 7

Agora que encontramos e , podemos escrever a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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