Resolva o PVI pelo método dos coeficientes a determinar a EDOLÑH
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda Ordem (EDO). Para resolver essa parada, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (o que está depois do igual) é uma combinação de funções conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada. Isso significa resolver a equação sem o lado direito:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui,
e
são constantes que seriam determinadas se tivéssemos condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
O lado direito é
, que é uma combinação de um polinômio de primeiro grau (
) e uma exponencial (
).
Como
não é solução da equação homogênea (nossas raízes eram com
), podemos propor uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer a substituição corretamente.
Substituindo novamente na equação:
Agrupando os termos:
- Termos com
: - Termos constantes:
Então, a equação fica:
Agora, igualando os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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