Determine a solução geral das edo
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial ordinária (edo) dada por:
Esse tipo de equação aparece em cálculo diferencial e integra bastante no estudo de como funções mudam. Para resolver essa equação, vamos usar um método chamado fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
). Esse fator é encontrado pela fórmula:
Então, substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Ou seja:
Isso acontece porque, pela regra do produto, temos:
Que é exatamente o que temos na equação.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: