Determine a solução geral das edo y' + 2xy = e^(-x^2)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial ordinária (edo) dada por:
Esse tipo de equação aparece em cálculo diferencial e integra bastante no estudo de como funções mudam. Para resolver essa equação, vamos usar um método chamado fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ). Esse fator é encontrado pela fórmula:
Então, substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Ou seja:
Isso acontece porque, pela regra do produto, temos:
Que é exatamente o que temos na equação.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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