(Extra) Determine a solução do problema de valor inicial
para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordem em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
são duas soluções. (2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea linear de terceira ordem com coeficientes reais. Sabemos que duas soluções dessa equação são
e
. Além disso, precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de solução geral de equações diferenciais homogêneas e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes, a solução geral é uma combinação linear das soluções particulares. Como já temos duas soluções,
e
, precisamos encontrar a terceira solução
.
Passo 3
Observando as soluções dadas, percebemos que
corresponde à raiz
da equação característica, e
corresponde à raiz
. Como a equação é de terceira ordem, deve haver uma terceira raiz. Supondo que a raiz
seja repetida, a terceira solução será
.
Passo 4
Então, a solução geral da equação diferencial é:
onde
,
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
,
e
.
Primeira condição:
Passo 6
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Podemos resolver esse sistema expressando
em função de
:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Como temos três constantes mas apenas duas equações, uma delas pode ser livre. Vamos escolher
, onde
é uma constante arbitrária.
Então:
Substituindo de volta na solução geral:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que -
, em que -
, em que
OBS: Das questões 7 a 15, o assunto é Porcentagem
15) Quanto é de
?
15) Quanto é
Consideremos uma parede com as seguintes propriedades:
Qual é a taxa de transferência de calor através da parede quando
e
?