(Extra) Determine a solução do problema de valor inicial y(1) = 0, y' (1) = 0 para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordem em y(x), com coeficientes reais, sabendo que y = 2 e y = e^x são duas soluções. (2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea linear de terceira ordem com coeficientes reais. Sabemos que duas soluções dessa equação são e . Além disso, precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de solução geral de equações diferenciais homogêneas e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes, a solução geral é uma combinação linear das soluções particulares. Como já temos duas soluções, e , precisamos encontrar a terceira solução .

Passo 3

Observando as soluções dadas, percebemos que corresponde à raiz da equação característica, e corresponde à raiz . Como a equação é de terceira ordem, deve haver uma terceira raiz. Supondo que a raiz seja repetida, a terceira solução será .

Passo 4

Então, a solução geral da equação diferencial é:
onde , e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
Primeira condição:

Passo 6

Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Aplicando :

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Podemos resolver esse sistema expressando em função de :
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Como temos três constantes mas apenas duas equações, uma delas pode ser livre. Vamos escolher , onde é uma constante arbitrária.
Então:
Substituindo de volta na solução geral:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
onde é uma constante arbitrária.

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