Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos
?
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre séries infinitas e sequências. Temos uma série
que é convergente, ou seja, ela soma a um valor finito. Também temos uma sequência
que é limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limites, eles ficam dentro de certos valores. O que precisamos descobrir aqui é se a afirmação que envolve essas duas coisas ainda é verdadeira se tirarmos a condição sobre os termos
, ou seja, se não assumirmos que
é convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente. Uma série
converge se a soma de seus termos tende a um número específico quando somamos infinitamente muitos termos. Por exemplo, a série
converge para 1.
Agora, uma sequência
ser limitada significa que existe um número
tal que para todo
,
. Ou seja, os termos da sequência não ficam muito grandes.
No contexto do problema, geralmente consideramos que se
converge e
é limitada, então a série
também converge. Isso é conhecido como o teste da série comparada com uma sequência limitada.
Passo 3
A pergunta aqui é: será que essa conclusão ainda é válida se não assumirmos que
é uma série convergente? Ou seja, se simplesmente tivermos uma sequência
qualquer (não necessariamente que a série
converge) e uma sequência
limitada, ainda podemos afirmar que
converge?
Para responder isso, precisamos considerar um caso em que
não converge, mas
é limitado. Se encontrarmos um exemplo onde
não converge, então a afirmação original não será verdadeira sem a condição de convergência de
.
Passo 4
Vamos construir um exemplo. Suponha que
para todo
. Nesse caso, a série
é a série harmônica, que sabemos que diverge, ou seja, não converge para um número finito.
Agora, escolha
. Essa sequência é limitada porque seus termos são apenas 1 e -1, então
.
Vamos ver a série
. Essa série oscila entre 1 e -1 e não se aproxima de nenhum valor específico. Portanto, ela também não converge.
Passo 5
Esse exemplo mostra que se não garantirmos que
é convergente, mesmo com
sendo uma sequência limitada, a série
pode não convergir. Portanto, a condição de que
é uma série convergente é essencial para assegurar a convergência de
quando
é limitado.
Resposta
Não, removendo a condição de que
é convergente, a afirmação não permanece verdadeira.
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Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para
.
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$© É verdade que também converge?
$© É verdade que