Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos (b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos ?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre séries infinitas e sequências. Temos uma série que é convergente, ou seja, ela soma a um valor finito. Também temos uma sequência que é limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limites, eles ficam dentro de certos valores. O que precisamos descobrir aqui é se a afirmação que envolve essas duas coisas ainda é verdadeira se tirarmos a condição sobre os termos , ou seja, se não assumirmos que é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente. Uma série converge se a soma de seus termos tende a um número específico quando somamos infinitamente muitos termos. Por exemplo, a série converge para 1.
Agora, uma sequência ser limitada significa que existe um número tal que para todo , . Ou seja, os termos da sequência não ficam muito grandes.
No contexto do problema, geralmente consideramos que se converge e é limitada, então a série também converge. Isso é conhecido como o teste da série comparada com uma sequência limitada.

Passo 3

A pergunta aqui é: será que essa conclusão ainda é válida se não assumirmos que é uma série convergente? Ou seja, se simplesmente tivermos uma sequência qualquer (não necessariamente que a série converge) e uma sequência limitada, ainda podemos afirmar que converge?
Para responder isso, precisamos considerar um caso em que não converge, mas é limitado. Se encontrarmos um exemplo onde não converge, então a afirmação original não será verdadeira sem a condição de convergência de .

Passo 4

Vamos construir um exemplo. Suponha que para todo . Nesse caso, a série é a série harmônica, que sabemos que diverge, ou seja, não converge para um número finito.
Agora, escolha . Essa sequência é limitada porque seus termos são apenas 1 e -1, então .
Vamos ver a série . Essa série oscila entre 1 e -1 e não se aproxima de nenhum valor específico. Portanto, ela também não converge.

Passo 5

Esse exemplo mostra que se não garantirmos que é convergente, mesmo com sendo uma sequência limitada, a série pode não convergir. Portanto, a condição de que é uma série convergente é essencial para assegurar a convergência de quando é limitado.

Resposta

Não, removendo a condição de que é convergente, a afirmação não permanece verdadeira.

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$© É verdade que (c) É verdade que também converge?