Determine a solução da equação de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações de recorrência linear homogêneas, onde a gente busca uma fórmula que descreva todo o conjunto de soluções da sequência.
Passo 2
Primeiro, a gente vai montar a equação característica dessa recorrência. Para uma equação de ordem 2 como essa, assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação:
Dividindo todos os termos por
(considerando
), fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática
para encontrar as raízes. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas:
Passo 4
Como as raízes são complexas e da forma
, a solução geral da equação de recorrência é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Aplicando a identidade de Euler, podemos reescrever a solução geral em termos de funções trigonométricas:
Mas para simplificar, reconhecemos que a solução geral com raízes complexas pode ser escrita como:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos a fórmula geral:
Para encontrar
, substituímos
:
Simplificando os ângulos:
Portanto:
Resposta
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