Determine a solução da equação de diferença y(n+2) - y(n+1) + y(n) = 0 com condições iniciais y0 = 1 e y1 = 0, e determine y99.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença com as condições iniciais e . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações de recorrência linear homogêneas, onde a gente busca uma fórmula que descreva todo o conjunto de soluções da sequência.

Passo 2

Primeiro, a gente vai montar a equação característica dessa recorrência. Para uma equação de ordem 2 como essa, assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação:
Dividindo todos os termos por (considerando ), fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas:

Passo 4

Como as raízes são complexas e da forma , a solução geral da equação de recorrência é:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Aplicando a identidade de Euler, podemos reescrever a solução geral em termos de funções trigonométricas:
Mas para simplificar, reconhecemos que a solução geral com raízes complexas pode ser escrita como:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar A e B.
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos a fórmula geral:
Para encontrar y99, substituímos :
Simplificando os ângulos:
Portanto:

Resposta

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