Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que é não homogênea porque tem termos extras além da parte homogênea . Para resolver, vamos precisar usar o método da solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (solução complementar) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea: . A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica. A equação característica é . Resolvendo isso, temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução complementar é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos tratar os dois termos do lado direito separadamente: e .

Passo 4

Primeiro, para a parte , assumimos uma solução particular da forma polinomial. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação :
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 5

Agora, para a parte , já que está presente na solução complementar, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Assim, assumimos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação :
Simplificando, os termos com cancelam, ficando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções particulares:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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