Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que é não homogênea porque tem termos extras além da parte homogênea
. Para resolver, vamos precisar usar o método da solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (solução complementar) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
. A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica. A equação característica é
. Resolvendo isso, temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução complementar é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos tratar os dois termos do lado direito separadamente:
e
.
Passo 4
Primeiro, para a parte
, assumimos uma solução particular da forma polinomial. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação
:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 5
Agora, para a parte
, já que
está presente na solução complementar, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicidade. Assim, assumimos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação
:
Simplificando, os termos com
cancelam, ficando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, juntamos as soluções particulares:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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