Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que o enunciado nos deu. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender se a equação é exata ou se precisamos usar algum método específico, como fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar as partes que correspondem a
e
. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma EDO:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Sabendo que
é uma solução da equação
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias:
Resolva o problema de valor inicial