Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que o enunciado nos deu. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender se a equação é exata ou se precisamos usar algum método específico, como fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar as partes que correspondem a e . A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma EDO:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Sabendo que é uma solução da equação
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução .
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias:
Resolva o problema de valor inicial