Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
O conteúdo envolvido aqui inclui equações diferenciais de primeira ordem e métodos de substituição para resolver a equação. Vamos precisar manipular a equação e fazer uma substituição adequada para simplificar e integrá-la.
Passo 2
Vamos começar simplificando a equação. Observe que podemos fatorar o
no numerador:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
. Assim, podemos escrever
. Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Cancelando
e simplificando:
Passo 5
Isolando as variáveis para separar a equação:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição adicional
, então
e
. A integral fica:
Integrando:
Substituindo
:
Passo 7
Voltando à substituição inicial
:
Podemos rearranjar para expressar a solução de forma implícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.