Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: [1,2 pt] d yd x=y+y cdot sen(ln (yx))x cdot sen(ln (yx))

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
dydx = y + y cdot sin(ln(yx))x cdot sin(ln(yx))
O conteúdo envolvido aqui inclui equações diferenciais de primeira ordem e métodos de substituição para resolver a equação. Vamos precisar manipular a equação e fazer uma substituição adequada para simplificar e integrá-la.

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação. Observe que podemos fatorar o dydx = y (1 + sin(ln(yx)))x cdot sin(ln(yx)) no numerador:
dydx = yx ( 1 + sin(ln(yx))sin(ln(yx)) )
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja dydx = t + x cdot dtdx . Assim, podemos escrever . Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo t + x cdot dtdx = t cdot xx ( 1 + sin(ln t)sin(ln t) ) = t cdot ( 1 + sin(ln t)sin(ln t) ) na equação original:
x cdot dtdx = t cdot ( 1 + sin(ln t)sin(ln t) ) - t = tsin(ln t)
Cancelando e simplificando:

Passo 5

Isolando as variáveis para separar a equação:
sin(ln t)t , dt = dxx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição adicional integral sin(u) , du = integral dxx , então - cos(u) = ln x + C e - cos(ln t) = ln x + C . A integral fica:
Integrando:
Substituindo :

Passo 7

Voltando à substituição inicial - cos(ln(yx)) = ln x + C :
cos(ln(yx)) = -ln x + C
Podemos rearranjar para expressar a solução de forma implícita:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
cos(ln(yx)) = C - ln x
Onde é a constante de integração.

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