Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais: {x'1 = x1 + 2*x2 + x3, x'2 = 3*x2 + x3, x'3 = 5*x2 - x3}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntas! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema:
Vamos precisar usar o conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares e autovalores/autovetores para resolver isso. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever esse sistema de equações em forma de matriz. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos mais eficientes. Vamos chamar o vetor de incógnitas de e a matriz de coeficientes de :
Então, o sistema fica:

Passo 3

Para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz . Os autovalores nos ajudam a entender o comportamento das soluções e os autovetores são as direções nas quais o sistema evolui.
Primeiro, vamos achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o determinante :
O determinante dessa matriz é:
Calculando esse determinante menor:
Simplificando:
Então, o determinante total é:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá:
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 6

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Começando com , resolvemos :
Resolvendo esse sistema, vemos que as duas primeiras equações são iguais, então podemos escolher como parâmetro. Da primeira equação:
Então, o autovetor correspondente é:

Passo 7

Agora, para :
Resolvendo o sistema :
Da segunda equação:
Da terceira equação: ⇒ confirma
Da primeira equação:
Escolhendo :

Passo 8

Por último, para :
Resolvendo :
Da segunda e terceira equações são iguais:
Da primeira equação:
Escolhendo :

Passo 9

Agora que temos os três autovalores e seus respectivos autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema.
Para cada e , a solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial: x1' = x1 + x2 + x3, x2' = 2 * x2 + x3, x3' = x3 com x1(0)=1 ; x2(0)=1 ; x3(0)=2.
Resolva os problemas de valor inicial: x1' = -4 x1 + 6 x2, x2' = -x1 + 3 x2 com x1(0)=1 ; x2(0)=-2.
Determine a transformada de Laplace inversa das funções F(s) = (2s - 5) / (s^2 (s^2 + s - 12))
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y'' - 2y' + y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0.