Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntas! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema:
Vamos precisar usar o conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares e autovalores/autovetores para resolver isso. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever esse sistema de equações em forma de matriz. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos mais eficientes. Vamos chamar o vetor de incógnitas de e a matriz de coeficientes de :
Então, o sistema fica:
Passo 3
Para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz . Os autovalores nos ajudam a entender o comportamento das soluções e os autovetores são as direções nas quais o sistema evolui.
Primeiro, vamos achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o determinante :
O determinante dessa matriz é:
Calculando esse determinante menor:
Simplificando:
Então, o determinante total é:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá:
⇒
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 6
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Começando com , resolvemos :
Resolvendo esse sistema, vemos que as duas primeiras equações são iguais, então podemos escolher como parâmetro. Da primeira equação:
Então, o autovetor correspondente é:
Passo 7
Agora, para :
Resolvendo o sistema :
Da segunda equação: ⇒
Da terceira equação: ⇒ confirma
Da primeira equação: ⇒ ⇒
Escolhendo :
Passo 8
Por último, para :
Resolvendo :
Da segunda e terceira equações são iguais: ⇒
Da primeira equação: ⇒ ⇒ ⇒
Escolhendo :
Passo 9
Agora que temos os três autovalores e seus respectivos autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema.
Para cada e , a solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é: