Resolva os problemas de valor inicial: x1' = x1 + x2 + x3, x2' = 2 * x2 + x3, x3' = x3 com x1(0)=1 ; x2(0)=1 ; x3(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. O que temos aqui são equações que descrevem como as funções , e mudam ao longo do tempo. O conteúdo que vamos usar envolve resolver sistemas de equações diferenciais lineares com condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender como isolar cada variável e resolver as equações passo a passo.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a terceira equação, que é a mais simples:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para uma equação na forma é:
onde é uma constante.

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação, temos:
Agora usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação:
Sabemos que , então substituímos:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, usamos o método do fator integrante.

Passo 5

Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Escrevemos o lado esquerdo como derivada do produto:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Usamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 7

Finalmente, vamos resolver a primeira equação:
Sabemos que:
Substituindo na equação:
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 8

Rearranjando:
O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação por :
Escrevemos o lado esquerdo como derivada do produto:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Usamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial: x1' = -4 x1 + 6 x2, x2' = -x1 + 3 x2 com x1(0)=1 ; x2(0)=-2.
Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 2y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < pi; 2, para pi <= t < 2 pi; 0, para t >= 2 pi }
Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais: {x'1 = x1 + 2*x2 + x3, x'2 = 3*x2 + x3, x'3 = 5*x2 - x3}
Determine a transformada de Laplace inversa das funções F(s) = (2s - 5) / (s^2 (s^2 + s - 12))