Resolva os problemas de valor inicial: com x1(0)=1 ; x2(0)=1 ; x3(0)=2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. O que temos aqui são equações que descrevem como as funções , e mudam ao longo do tempo. O conteúdo que vamos usar envolve resolver sistemas de equações diferenciais lineares com condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender como isolar cada variável e resolver as equações passo a passo.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a terceira equação, que é a mais simples:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para uma equação na forma é:
onde é uma constante.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação, temos:
Agora usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução para é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
Sabemos que , então substituímos:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, usamos o método do fator integrante.
Passo 5
Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Escrevemos o lado esquerdo como derivada do produto:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Usamos a condição inicial :
Então, a solução para é:
Passo 7
Finalmente, vamos resolver a primeira equação:
Sabemos que:
Substituindo na equação:
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 8
Rearranjando:
O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação por :
Escrevemos o lado esquerdo como derivada do produto: