Resolva os problemas de valor inicial: x1' = -4 x1 + 6 x2, x2' = -x1 + 3 x2 com x1(0)=1 ; x2(0)=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais iniciais que você me deu. O problema envolve resolver um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares, encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz dos coeficientes, e usar essas informações para encontrar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculemos:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são:

Passo 4

Para cada valor próprio, encontramos um vetor próprio correspondente. Vamos começar com :
Resolvendo :

[


]
A partir da primeira equação: .
Podemos escolher , então .
Agora, para :
Resolvendo :

[


]
Da primeira equação: .
Escolhemos , então .

Passo 5

Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores:
Isso dá:

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e :
Temos o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 2y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < pi; 2, para pi <= t < 2 pi; 0, para t >= 2 pi }
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Resolva os problemas de valor inicial: x1' = x1 + x2 + x3, x2' = 2 * x2 + x3, x3' = x3 com x1(0)=1 ; x2(0)=1 ; x3(0)=2.
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