Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e usaremos a Transformada de Laplace para achar a solução. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como transformar derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como transformar as derivadas:
Substituindo os valores iniciais e :
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Aqui, usamos que .
Passo 5
Vamos fatorar :
Note que , então:
Passo 6
Isolamos :
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 7
Expressamos como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Escolhemos valores de para resolver , e :
Para :
Para :
Para encontrar , podemos derivar ou escolher outro valor de . Vamos expandir a equação:
Substituindo e :
Simplificando:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
:
: Já satisfazemos com os valores encontrados
Constante: Já satisfazemos com os valores encontrados
Passo 9
Agora, temos:
Passo 10
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo: