Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas: y' - y = 2x e^(2x), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial do tipo e ainda cumprir a condição inicial . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, e pra resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Temos . Aqui, o termo é a derivada de em relação a , e o restante é uma combinação linear de e uma função de . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial da forma , o fator integrante é dado por:
No nosso caso, reescrevemos a equação para combinar com essa forma:
Então, , e o fator integrante fica:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral . Vamos usar o método da integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condi�o inicial :

Passo 9

Substituímos o valor de na solução geral:

Resposta

A solução particular que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:

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