Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial do tipo
e ainda cumprir a condição inicial
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, e pra resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Temos
. Aqui, o termo
é a derivada de
em relação a
, e o restante é uma combinação linear de
e uma função de
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial da forma
, o fator integrante
é dado por:
No nosso caso, reescrevemos a equação para combinar com essa forma:
Então,
, e o fator integrante fica:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Vamos usar o método da integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condi�o inicial
:
Passo 9
Substituímos o valor de
na solução geral:
Resposta
A solução particular que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é: