Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido é de equações diferenciais simples, onde precisamos encontrar a função
que, ao ser derivada, resulta em
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão dada.
Passo 2
Para encontrar
, vamos integrar a derivada
em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos resolver a integral
. Para facilitar, vamos usar a substituição:
- Seja
- Então,
ou
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: