Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas: y' = x + y, y(0) = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral à direita usando integração por partes. Seja:
Então:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Multiplicamos ambos os lados por e^x para isolar y:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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