Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral à direita usando integração por partes. Seja:
Então:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: