Mostre que os pontos (-2,9), (4,6), (1,0) e (-5, 3) são os vértices de um quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os pontos -2,9, (4, 6), 1,0 e (-5, 3) são os vértices de um quadrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no plano cartesiano. Precisamos verificar se os lados têm o mesmo comprimento e se os ângulos entre eles são retos, características essenciais de um quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos quatro pontos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados e das diagonais. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:

Passo 4

Vamos calcular as distâncias:
  1. Entre A e B:
  1. Entre B e C:
  1. Entre C e D:
  1. Entre D e A:

Passo 5

Observamos que todos os lados ( , , , ) têm a mesma distância de . Isso indica que o quadrilátero é um losango, já que todos os lados são iguais.

Passo 6

Agora, vamos verificar as diagonais para confirmar se o losango é, de fato, um quadrado. Calculamos as diagonais e :
  1. Diagonal :
  1. Diagonal :

Passo 7

Ambas as diagonais têm o mesmo comprimento de . Além disso, em um quadrado, as diagonais se bissetam em ângulos retos. Podemos verificar isso calculando o produto dos coeficientes angulares das diagonais e :
Coeficiente angular de :
Coeficiente angular de :
Produto dos coeficientes:
Como o produto é -1, as diagonais são perpendiculares, o que confirma que o losango é um quadrado.

Resposta

Portanto, os pontos -2,9, (4, 6), 1,0 e (-5, 3) são os vértices de um quadrado.

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