Mostre que os pontos
e
são os vértices de um quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os pontos
,
,
e
são os vértices de um quadrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no plano cartesiano. Precisamos verificar se os lados têm o mesmo comprimento e se os ângulos entre eles são retos, características essenciais de um quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos quatro pontos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados e das diagonais. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Passo 4
Vamos calcular as distâncias:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 5
Observamos que todos os lados (
,
,
,
) têm a mesma distância de
. Isso indica que o quadrilátero é um losango, já que todos os lados são iguais.
Passo 6
Agora, vamos verificar as diagonais para confirmar se o losango é, de fato, um quadrado. Calculamos as diagonais
e
:
- Diagonal
:
- Diagonal
:
Passo 7
Ambas as diagonais têm o mesmo comprimento de
. Além disso, em um quadrado, as diagonais se bissetam em ângulos retos. Podemos verificar isso calculando o produto dos coeficientes angulares das diagonais
e
:
Coeficiente angular de
:
Coeficiente angular de
:
Produto dos coeficientes:
Como o produto é
, as diagonais são perpendiculares, o que confirma que o losango é um quadrado.
Resposta
Portanto, os pontos
,
,
e
são os vértices de um quadrado.