(x^2 e^(-y / 2) + y^2) dx = x y dy

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial aqui:
Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para isso, precisamos verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Claramente, , então a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende somente de ou somente de . Vamos tentar um fator integrante que depende de , digamos .
A condição para o fator integrante é:
Após derivar e simplificar, descobrimos que:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação se torna exata.

Passo 6

Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Então, é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 8

Assim, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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