Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial aqui:
Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para isso, precisamos verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Claramente,
, então a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende somente de
ou somente de
. Vamos tentar um fator integrante que depende de
, digamos
.
A condição para o fator integrante
é:
Após derivar e simplificar, descobrimos que:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação se torna exata.
Passo 6
Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Então,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 8
Assim, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.