Em um sistema de produção, a taxa de variação do inventário de um produto
em um determinado período de tempo t é modelada por uma equação diferencial. A demanda por esse produto é variável ao longo do tempo e pode ser expressa por
, onde
e
são constantes positivas. A taxa de produção
é constante e igual a
.
A equação diferencial que descreve o comportamento do inventário
ao longo do tempo é dada por:
A equação diferencial que descreve o comportamento do inventário
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o estoque de um produto, chamado
, muda ao longo do tempo numa fábrica. A gente tem uma equação diferencial que descreve essa mudança:
Aqui,
é a taxa constante de produção e
é a demanda que varia com o tempo. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
, ou seja, como o estoque varia no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Nesse caso, queremos descobrir
sabendo a sua derivada
.
Passo 3
A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, porque a derivada de
aparece apenas na primeira potência e a equação pode ser escrita na forma:
Aqui, não tem termo com
multiplicando, o que simplifica as coisas.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados em relação a
. A ideia é “desfazer” a derivada para encontrar
.
Integrando os dois lados:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de
é simplesmente
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
é .
Então, temos:
Passo 6
Por fim, podemos reescrever a expressão de
de forma mais limpa:
Onde
é a constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial, como o valor do estoque no tempo
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.