Em um sistema de produção, a taxa de variação do inventário de um produto I(t) em um determinado período de tempo t é modelada por uma equação diferencial. A demanda por esse produto é variável ao longo do tempo e pode ser expressa por D(t) = D0 * e^(-k * t), onde D0 e k são constantes positivas. A taxa de produção P(t) é constante e igual a P0.
A equação diferencial que descreve o comportamento do inventário I(t) ao longo do tempo é dada por:
dI(t)/dt = P0 - D0 * e^(-kt)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o estoque de um produto, chamado , muda ao longo do tempo numa fábrica. A gente tem uma equação diferencial que descreve essa mudança:
Aqui, é a taxa constante de produção e é a demanda que varia com o tempo. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar , ou seja, como o estoque varia no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Nesse caso, queremos descobrir sabendo a sua derivada .

Passo 3

A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem e linear, porque a derivada de aparece apenas na primeira potência e a equação pode ser escrita na forma:
Aqui, não tem termo com multiplicando, o que simplifica as coisas.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados em relação a . A ideia é “desfazer” a derivada para encontrar .
Integrando os dois lados:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de é simplesmente .

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Onde é a constante de integração.
Integrando termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de é .
Então, temos:

Passo 6

Por fim, podemos reescrever a expressão de de forma mais limpa:
Onde é a constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial, como o valor do estoque no tempo .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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