Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para essas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. No nosso caso, temos:
Então,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
). Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação mais fácil de resolver. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução!
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo é simplesmente
. Já o lado direito, integrando
, temos:
Então:
Passo 7
Por fim, resolvemos para
isolando-o:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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