Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x - 8 y = e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para essas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: . No nosso caso, temos:
Então, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ). Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação mais fácil de resolver. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução!

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo é simplesmente . Já o lado direito, integrando , temos:
Então:

Passo 7

Por fim, resolvemos para isolando-o:
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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