Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos a equação diferencial
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocar tudo em um lado:
Aqui, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, encontramos uma função
cuja derivada total corresponde à equação diferencial. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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