Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (x - y^2) y' = x - y

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos a equação diferencial . Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocar tudo em um lado:
Aqui, identificamos as funções e :

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, encontramos uma função cuja derivada total corresponde à equação diferencial. Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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