Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x = (x+y)/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e a gente vai precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever como:
Isso facilita na identificação dos termos para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

A equação agora está na forma , que é uma equação diferencial linear. Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação numa forma que seja fácil de integrar.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto .

Passo 6

Reconhecemos que:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é uma constante qualquer.

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