Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
e
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse problema faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Dessa forma, conseguimos isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação.
Na parte esquerda, a integração da derivada
simplifica para
, e na parte direita, a integral de
é
.
Passo 4
Realizando as integrações, temos:
Aqui,
é a constante de integração que iremos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, já que
também é uma constante.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Faça um esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e pelas retas
e
.
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: