Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver, vamos usar um método chamado “fator integrante”. Vamos precisar mexer com integrais e exponentes para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, a gente reconhece que essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante (
) é calculado usando a fórmula
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora fica:
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral de
é:
Então:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo todo o lado por
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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