Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: d y/d x + 12 y = e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver, vamos usar um método chamado “fator integrante”. Vamos precisar mexer com integrais e exponentes para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, a gente reconhece que essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante ( ) é calculado usando a fórmula . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora fica:
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto . Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral de é:
Então:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo todo o lado por :
Simplificando os expoentes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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